CONCEPTO DE DERIVADA Y LIMITES

El concepto de derivada ha estado motivado históricamente por dos tipos de problemas
fundamentales, el primero de naturaleza geométrica, relacionado particularmente con las tangentes y normales (cantidades de cambio), así como con los valores máximos y
mínimos, el segundo problema por su parte, se ocupa de todo lo que atañe a la velocidad particularmente a la instantánea (incrementos). Las diferentes definiciones del concepto derivada presentes en este artículo son resultado de una investigación epistemológica del concepto derivada.

René Descartes (1596 - 1650) de algún modo también se ocupa de problemas similares los cuales como se puede ver actualmente, están estrechamente relacionados con el concepto de derivada, es de aclarar sin embargo, que no fue exactamente con el nombre de derivada con el que Descartes relaciona los problemas de su interés, en este sentido, se puede señalar que para Descartes revestía gran importancia las relaciones entre las propiedades de una curva y su ecuación, al respecto Boyer señala que: "Descartes se dio cuenta de que todas las propiedades de una curva, tales como la medida del área encerrada por ella o la dirección de su tangente, están completamente determinadas cuando se da su ecuación en dos incógnitas, pero en realidad no saco las importantes consecuencias de este conocimiento; Descartes señala que:
Habré dado aquí todo lo que es necesario para el estudio de las curvas, una vez que dé un método general para trazar una línea recta que forme ángulos rectos con una curva en un punto arbitrario de ella. Y me atrevería a decir que éste es no sólo el problema más útil y más general de la geometría que conozco, sino incluso de los que hubiera deseado nunca conocer Lo anterior evidencia el particular interés de Descartes y la importancia que ésta daba al ocuparse de problemas tales como la determinación de la normal a una curva algebraica en un punto cualquiera, y otros muchos problemas similares de los que se sabe actualmente guardan una fuerte relación con la derivada y los fenómenos de variación y movimiento en el sentido en como se conocen y conciben hoy".

Posterior a esto aparecen dentro del proceso del desarrollo del concepto nombres tan ilustres como el de Pierre de Fermat (1601-1665) quien junto con Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-
1716) realizan quizá los mayores y más importantes aportes, el método publicado por
Fermat en una memoria en 1635 y titulado Methodus ad Disquirendam Maximan et
Miniman de Fermat, en el cual presenta a través de un sencillo ejemplo la manera de
calcular los valores máximos y mínimos de una función (en el sentido moderno) es quizá el inicio de lo que más tarde sería conocido con el nombre de métodos de las tangentes y que tendría una fuerte relación con lo que hoy conocemos como derivadA.

Los aportes hechos por Newton así como los de Leibniz, pueden considerarse entre los
más importantes para el desarrollo del cálculo infinitesimal, para el caso particular de la derivada es a Newton y Leibniz a quienes debe reconocerse el mayor protagonismo histórico sin querer desde luego desconocer el trabajo que realizaron prestigiosos matemáticos anteriores a ellos, dentro de los aportes más importante en que trabajara Newton se encuentran los relacionados con series, la relación existente entre la derivación y la integración, al igual que la concepción de la variable como expresión de un movimiento en el tiempo; igualmente y como una aproximación a lo que en la actualidad se reconoce como el algoritmo para calcular la derivada de funciones.
polinómicas.

Por su parte, Leibniz independientemente de Newton, también se preocupa por algunos
asuntos relacionados con el cálculo infinitesimal, en una serie de notas particulares
realizadas por Leibniz y fechadas en noviembre de 1675, este plasma un estudio sobre la cuadratura de algunas curvas, el problema a diferencia de Newton es atacado por Leibniz desde diferentes puntos de vista, a lo largo del manuscrito, Leibniz establece que una curva puede expresarse como una sucesión discreta de valores de la ordenada y a los cuales es posible hacerles corresponder una sucesión discreta de la abscisa x y las ordenadas y; pero quizá uno de los aportes más importantes de Leibniz y sus seguidores (hemanos Bernoulli, marqués de L´Hopital, Euler,…) consistió el realizado en torno a la notación y lenguaje del cálculo diferencial, al proponer una manera especial de notar las expresiones, notación que aún actualmente se emplea, en donde llamaban diferencial de una magnitud (dy) a la variación infinitesimal de esa magnitud (y) (su "momento", en palabras de newton). Si dy hubiese podido tomar un valor macroscópico, no habría coincidido con Äy, pero, como sólo se le adjudicaba valores infinitamente pequeños, en ese rango se identificaba con Äy sin cometer error alguno. Así la diferencial de la posición (de), aunque en términos macroscópicos no correspondía a ningún desplazamiento, podía identificarse con el desplazamiento ocurrido en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño (dt).
Definían la derivada como el cociente de incrementos muy pequeños y para calcularla
consideraban que una variación infinitesimal dx produciría también una variación
infinitesimal dy, después dividían ambos miembros por dx, y sólo en ese momento
despreciaban los sumandos infinitesimales, obteniendo así la derivada. El siguiente
ejemplo ilustra el uso original de Newton y Leibniz que ellos planteaban siempre en clave
geométrica.

• Para calcular la derivada de la función y = x2, se tienen en cuenta que una
variación infinitesimal dx produciría también una variación infinitesimal dy, es
decir: y+dy=(x+dx)2. Al dividir por dx, tenemos que: dy/dx = 2x+dx, y como aquí
se desprecian los sumandos infinitesimales, se obtiene: dy/dx = 2x.
Los aportes de Newton y Leibniz conectaron los problemas de la mecánica con los de la geometría, gracias al método de las coordenadas, que ofrece una representación grafica de la dependencia entre dos variables; es decir, se pueden representar funciones gráficamente; igualmente demostraron las reglas para derivar el producto y el cociente de funciones tal como hoy se conocen.

BIBLIO: http://paginasweb.univalle.edu.co/~ccm2009/file.php?id=370